Makalah Teknik Membilang Permutasi

 

TEKNIK MEMBILANG PERMUTASI

Penyusun:

Drs. Jefferson Roosevelt Watulingas, MM

Dibantu oleh:

Dina Inda Robbika

 

 

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MULAWARMAN
SAMARINDA
2020

 

 

LEMBAR PENGESAHAN

 

1.      Judul:

Teknik Membilang Permutasi

2.      Penulis:

            Drs. Jefferson Roosevelt Watulingas, M.M

Mengetahui,	Samarinda, 10 Agustus 2021
Dekan FKIP UNMUL         Prof. Dr. H. Muh. Amir M., M.Kes NIP. 19601027 198503 1 003	Penulis         Drs. J.R. Watulingas ,M.M NIP. 19630111 198803 1 006

 

KATA PENGANTAR

 

            Puji syukur kami ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena bimbingan dan karunia-Nya penulis menyusun buku yang berjudul “Teknik Membilang Permutasi”

            Penulis mengucap terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam membuat buku ini. Dalam penulisan buku ini, penulis menyadari masih banyak kekurangan dan kelemahan, baik dalam segi teknik maupun obyektivitas hasil penulisan buku.

            Untuk itu saran dan kritik positif dari pembaca sangat kami harapkan, kiranya buku ini dapat bermanfaat bagi rekan-rekan yang lain khususnya bagi penulis sendiri.

 

Samarinda, 10 Agustus 2021

 

Penulis

 

BAB I

PENDAHULUAN

 

A.    Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menghadapi masalah pengaturan suatu obyek yang terdiri dari beberapa unsur, baik yang disusun dengan mempertimbangkan urutan sesuai dengan posisi yang diinginkan maupun yang tidak. Misalnya menyusun kepanitiaan yang terdiri dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara dimana urutan untuk posisi tersebut dipertimbangkan atau memilih beberapa orang untuk mewakili sekelompok orang dalam mengikuti suatu kegiatan yang dalam hal ini urutan tidak menjadi pertimbangan. Dalam matematika, penyusunan obyek yang terdiri dari beberapa unsur dengan mempertimbangkan urutan disebut dengan permutasi, sedangkan yang tidak mempertimbangkan urutan disebut dengan kombinasi.

Buku ini di susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. Dalam modul ini anda akan mempelajari Peluang / Probabilitas yang didalamnya menyangkut tentang dasar-dasar tentang Kaidah Pencacahan yang terdiri dari Pengisian tempat yang tersedia ( Filling Slots ) , Permutasi , Kombinasi sebagai bagian dasar didalam menyelesaikan permasalahan Peluang suatu kejadian.

Dalam kehidupan sehari-hari banyakditemukan kasus yang berhubungan denganpenyusunan objek. Misalkan terdapat beberapaobjek yang berbeda dimana beberapa objektersebut akan dibentuk suatu susunan objek, contohnya seperti nomor telepon, susunan lampuhias, dan susunan huruf. Susunan objek berbedadengan memperhatikan urutannya tersebutdinamakan permutasi, dimana dapat ditentukan jumlah permutasi atau susunan yang dapat terjadi dari beberapa objek tersebut dengan persamaan yang telah dirumuskan. Pada kenyataannya, penyusunan objek tersebut tidak selalu lurus dan tidak semua objek selalu berbeda.

Kondisi permutasi dimana susunan objeknya tidak lurus akan tetapi membentuk sebuah lingkaran disebut dengan permutasi siklis. Menurut Munir (2005), permutasi siklis adalah penyusunan objek-objek yang mengelilingi sebuah lingkaran atau daerah tertutup sederhana. Contoh dari permutasi siklis pada kehidupan nyata adalah susunan anggota rapat yang mengelilingi sebuah meja bundar. Adapun untuk mengetahui jumlah permutasi siklis dapat diketahui dengan persamaan yang telah dirumuskan.

Keadaan penyusunan objek dimana tidak semua objek berbeda jenis disebut dengan permutasi multinomial. Permutasi multinomial juga dapat diartikan sebagai permutasi dengan kondisi terdapat beberapa objek yang sejenis. Contoh dari permutasi multinomial pada kehidupan nyata adalah banyak cara membagikan delapan buku yang berbeda kepada tiga orang, dimana orang pertama mendapat empat buku, orang kedua 2 buku, dan orang ketiga 2 buku. Adapun untuk mengetahui jumlah permutasi multinomial dapat diketahui dengan persamaan yang telah dirumuskan. Pada penyusunan beberapa objek secara melingkar, jumlah penyusunan objek tersebut dapat diketahui dengan konsep permutasi siklis.

Pada kasus tertentu di kejadian nyata terdapat juga kondisi dimana objek - objek yang akan disusun melingkar memiliki beberapa objek sejenis. Pada kejadian beberapa objek yangsejenis ini bukanlah murni permutasi siklis, melainkan permutasi siklis yang memilikibeberapa objek yang berwarna sama atau bisa disebut permutasi siklis dengan objek multinomial. Pada kasus dimana dilakukan penggabungan kondisi dari permutasi siklis dan permutasi multinomial ingin diketahui banyaknya jumlah susunan objek yang terjadi. Permutasi yang demikian dikatakan sebagai permutasi siklis dengan objek multinomial. Pada kasus tersebut untuk mengetahui jumlah susunan objek yang terjadi dapat diketahui dengan melakukan pencacahan karena belum ditemukan persamaan untuk menghitung kondisi permutasi seperti ini.Pencacahan dilakukan dengan menghitung satu persatu anggota kejadian yang terjadi dari penyusunan objek secara melingkar dimana beberapa objek berwarna sama atau sejenis. Cara berhitung mencacah seperti ini membutuhkan waktu yang lama dan untuk menentukan anggota kejadian sangat menyulitkan karena membutuhkan kejelian dalam melihat apakah sebuah kejadian telah dihitung atau belum. Dikarenakan proses yang sangat rumit tersebut sehingga sangat dibutuhkan sebuah mode lmatematika yang dapat membantu untuk menghitung jumlah susunan objek yang dapat terjadi dari kondisi permutasi siklis dengan objek multinomial.

Kombinatorika adalah studi tentang pengaturan objek - objek, yaitupemasangan, pengelompokan, pengurutan, pemilihan, atau penempatan objek - objek dengan karakteristik tertentu. Topik ini mulai berkembang sejak abad ketujuh belas, yakni diawali dengan tulisan Gottfried Wilhelm Leibniz yang berjudul Dissertio de Arte Combinatorica. Selanjutnya, kombinatorika semakin berkembang pesat dengan beragam aplikasinya di berbagai bidang, seperti kimia, biologi, fisika, dan komunikasi.

Pembahasan mengenai kombinatorika diawali dengan pengenalan duakaidah pencacahan, yaitu kaidah penjumlahan dan kaidah perkalian. Kedua kaidah ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan masalah yang kompleks dengan cara memecah atau mengurai masalah tersebut menjadi beberapa bagian yang lebih sederhana yang selanjutnya dapat diselesaikan dengan kedua kaidah tersebut. Misalnya, kaidah pencacahan bermanfaat untuk menentukan apakah terdapat cukup nomor telepon atau alamat internet protocol untuk memenuhi permintaan pelanggan.

Dalam materi ini kita akan membahas teori permutasi dankombinasi. Yang mungkin sudah pernah anda pelajari pada waktu SMA. Namun demikian, materi ini akan diberikan dalam makalah ini bukanhanya sekedar mengulang, tetapi diharapkan pula dapat memberikan wawasan yang luas mengenai pendefinisian permutasi dan kombinasi.Untuk mendukung kelancaran anda terhadap penguasaan materi dalam makalah ini perlu juga dipelajari teknik menghitung yang mencakup prinsip perkalian dan penjumlahan serta permutasi dan kombinasi.

 

B.     Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalahnya adalah sebagai berikut.

1. Bagaimana sejarah statistika?
2. Bagaimana sejarah peluang?
3. Bagaimana sejarah permutasi?
4. Bagaimana teori himpunan?
5. Apa yang dimaksud dengan peluang?
6. Apa yang dimaksud dengan Teknik membilang?
7. Bagaimana soal permutasi dan kombinasi?

C.     Tujuan

1.      Untuk mengetahui sejarah statistika.

2.      Untuk mengetahui sejarah peluang.

3.      Untuk mengetahui sejarah permutasi.

4.      Untuk mengetahui teori himpunan.

5.      Untuk mengetahui peluang.

6.      Untuk mengetahui seperti apa teknik membilang.

7.      Untuk mengetahui soal permutasi dan kombinasi.

D.    Manfaat

1.      Menambah ilmu juga wawasan mengenai peluang,Teknik membilang, permutasi dan kombinasi.

2.      Menerapkan ilmu statistika matematika pada kehidupan sehari - sehari.

 

 

 

 

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

 

A.    Sejarah Statistika

Penggunaan Statistik sudah ada sebelum abad ke- 18, pada saat itu negara Babilon, Mesir, dan Roma mengeluarkan catatan tentang nama, usia, jenis kelamin, pekerjaan, dan jumlah anggota keluarga. Kemudian pada tahun 1500, pemerintahan Inggris mengeluarkan catatan  mingguan tentang kematian dan tahun 1662 dikembangkan 

Catatan tentang kelahiran dan kematian.  Baru pada tahun 1772-1791 G. Achenwall menggunakan istilah statistik sebagai kumpulan data tentang Negara. Tahun 1791-1799,  Dr. E.A.W Zimmesman mengenalkan kata statistika dalam bukunya Statistical Account of Scotland. Tahun 1880, F. Galton pertama kali menggunakan korelasi dalam penelitian ilmu hayat. Pada abad 19 Karl Pearson mempelopori penggunaan metoda statistik dalam berbagai penelitian biologi maupun pemecahan persoalan yang bersifat sosio ekonomis.  Tahun 1918-1935, R. Fisher mengenalkan analisa varians dalam literatur statistiknya.

Tahun 1880, F. Galton pertama kali menggunakan korelasi dalam penelitian ilmu hayat. Pada abad 19 Karl Pearson mempelopori penggunaan metoda statistik dalam berbagai penelitian biologi maupun pemecahan persoalan yang bersifat sosio ekonomis.  Tahun 1918-1935, R. Fisher mengenalkan analisa varians dalam literatur statistiknya.

Metode Binomial adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk menggabungkan aktivitas secara sah dari penemuan data binomial. Tujuannya adalah untuk menyediakan keterangan lengkap tentang metode ini dan untuk memperbaharui dan memperluas aplikasi dan penelitian dalam masyarakat luas.

Salah satu contoh dari pemanfaatan data binomial yaitu yang bisa dilihat dalam penelitian klinis dan kesehatan masyarakat, dimana seringkali diperlukan untuk menggabungkan temuan-temuan dari berbagai intervensi atau pengamatan studi yang sangat penting untuk keamanan dan keampuhan pertanyaan dalam pencarian data. Sebuah studi tunggal jarang memberikan jawaban pasti karena keterbatasan ukuran sampel dan atribut spesifik populasi studi tertentu. Tantangan menggabungkan data dari studi heterogen baik dijelaskan dalam meta-analisis literatur.

Dalam sebagian besar analisis meta-laporan, hasil yang terpenting adalah perbandingan perkiraan resiko seperti rasio, resiko relatif, atau perbedaan resiko Namun, seperti proporsi peristiwa klinis antara kelompok pasien atau tingkat respon antara pasien yang menerima rejimen pengobatan tertentu, keputusan langkah-langkah penting untuk membantu membimbing klinis dan kesehatan masyarakat.

Dalam epidemiologi dan statistik yang benar, terminologi ini disebut tingkat yang benar-benar proporsional, tetapi disina biasanya dilakukan proporsi bunga dan setara yang mana istilah ini sering digunakan dalam penelitian keamanan produk medis. Metode yang relevan untuk menyatukan keseluruhan resiko secara khusus penting dalam evaluasi keselamatan produk medis sebagai resiko bagi efek sampingnya, dan perkiraan yang tepat mengenai probabilitas hasil-hasil yang penting dalam evaluasi risiko dan manfaat.

Di sina akan dijelaskan pelaksanaan metode binomial untuk menyatukan keseluruhan risiko dari data yang ditemukan. Metode ini memperkirakan kemungkinan ringkasan peristiwa-peristiwa buruk dan dapat diterapkan dalam evaluasi keamanan produk medis seperti memperhitungkan studi heterogenitas. Penerapan metode binomial dalam pengaturan keamanan obat sebelumnya dijelaskan oleh Chuang-Stein pada 1993. Ini bertujuan untuk menyediakan penjelasan rinci tentang metode dan untuk memperbarui dan memperluas aplikasi.

Pengaturan umum adalah bahwa dari uji klinis atau studi kohort pajanan tertentu, seperti: obat A dengan ukuran sampel n mengakibatkan x jumlah kejadian buruk (misalnya kerusakan hati). Dalam setiap individu mempelajari kemungkinan bertemu x jumlah kejadian buruk keluar dari ukuran sampel n adalah dicirikan oleh distribusi binomial.

Untuk menyederhanakan beberapa studi pemaparan yang sama, perlu memperhitungkan heterogenitasnya dari studi tersebut, karena mereka dapat berbeda dalam ukuran sampel, pengaturan klinis, penyelidik, protokol, dan prevalensi comorbidity studi antara mata pelajaran. Asumsi satu distribusi binomial yang dapat menggambarkan proporsi kejadian buruk dari semua studi tidak selalu berlaku. Berbagai faktor, termasuk perbedaan etnis, tingkat keparahan penyakit, kondisi komorbiditas, dan obat-obatan secara bersamaan dapat berkontribusi pada variasi probabilitas bunga, sehingga membutuhkan asumsi tambahan di luar model binomial. Mengabaikan overdispersion ketika mengumpulkan data yang overdispersed binomial di alam dapat mengakibatkan salah perkiraan kemungkinan minat dan interval kepercayaan.

Dalam uji klinis sastra, Chuang-Stein mengusulkan penggunaan binomial model untuk menggabungkan tingkat kejadian di beberapa studi dalam sebuah artikel berjudul "Suatu penerapan model binomial untuk menggabungkan dan memantau tingkat peristiwa medis dalam uji klinis". Meskipun suara statistik dasar, metode ini belum banyak digunakan dalam klinis dan artikel-artikel penelitian kesehatan publik selama bertahun-tahun sejak penerbitan.

Sementara itu, penerapan binomial model di bidang lain menjadi lebih umum seperti yang telah diterapkan dalam bidang yang sama jauhnya seperti analisis sensoris dan komputasi linguistic. Pemanfaatkan metode ini untuk memperkirakan risiko toksisitas hati di kalangan pengguna perawatan antijamur oral dan percaya bahwa hal itu dapat digunakan secara lebih luas untuk membantu mengatasi pertanyaan-pertanyaan serupa. Dari hal-hal di atas, dapat dijelaskan asumsi statistik untuk model binomial, proses memperkirakan kemungkinan bunga, metode untuk menguji selama lebih-dispersi, dan contoh penerapannya.

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.

Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas.

Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri). Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan.

Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau "politikus"). Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat.

Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama probabilitas. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil).

Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika.

Meskipun ada kubu yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi orang lebih banyak menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya.

Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika.

Dalam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi. Makna populasi dalam statistika dapat berarti populasi benda hidup, benda mati, ataupun benda abstrak. Populasi juga dapat berupa pengukuran sebuah proses dalam waktu yang berbeda-beda, yakni dikenal dengan istilah deret waktu.

Melakukan pendataan (pengumpulan data) seluruh populasi dinamakan sensus. Sebuah sensus tentu memerlukan waktu dan biaya yang tinggi. Untuk itu, dalam statistika seringkali dilakukan pengambilan sampel (sampling), yakni sebagian kecil dari populasi, yang dapat mewakili seluruh populasi. Analisis data dari sampel nantinya digunakan untuk menggeneralisasikan seluruh populasi.

Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau "politikus"). Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat.

Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama probabilitas. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil).

Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika.

Meskipun ada kubu yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi orang lebih banyak menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya.

Jika sampel yang diambil cukup representatif, inferensial (pengambilan keputusan) dan simpulan yang dibuat dari sampel dapat digunakan untuk menggambarkan populasi secara keseluruhan. Metode statistika tentang bagaimana cara mengambil sampel yang tepat dinamakan teknik sampling.

Analisis statistik banyak menggunakan probabilitas sebagai konsep dasarnya. Sedangkan matematika statistika merupakan cabang dari matematika terapan yang menggunakan teori probabilitas dan analisis matematis untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika.

Ada dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif berkenaan dengan deskripsi data, misalnya dari menghitung rata-rata dan varians dari data mentah; mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lebih mudah “dibaca” dan lebih bermakna. Sedangkan statistika inferensial lebih dari itu, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan prediksi observasi masa depan, atau membuat model regresi.

Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan dideskripsikan) atau disimpulkan, baik secara numerik (misalnya menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik), untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut, sehingga lebih mudah dibaca dan bermakna.

Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan keputusan berdasarkan analisis data, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi), membuat permodelan hubungan (korelasi, regresi, ANOVA, deret waktu), dan sebagainya.

Populasi merupakan totalitas semua nilai yang mungkin, hasil perhitungan ataupun pengukuran, kuantitaif ataupun kualitatif menegnai karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan lengkap dan jelas yang dipelajari sifat-sifatnya. Populasi adalah wilayah generalisasi yang terdiri dari: objek atau subjek yang mempunyai kuantitas dan karakteristik tertentu yang diterapkan oleh peneliti untuk dipelajari dan kemudian ditarik kesimpulannya. Satu orang dapat digunakan sebagai populasi karena satu orang itu mempunyai berbagai macam karakteristik, contohnya gaya mengajar, gaya bicara, disiplin, cara menyampaikan pendapat, cara bergaul dan lain-lain. Sedangkan sebagian yang diambil dengan karakteristik yang identik dengan populasi disebut sampel. Bila populasi besar dan peneliti tidak mungkin mempelajari semua yang ada pada populasi, karena keterbatasan dana, tenaga dan waktu, maka peneliti dapat menggunakan sampel itu, kesimpulan yang akan diambil dari populasi itu. Sampel terambil harus representatif, dalam arti segala karakteristik populasi hendaknya dicerminkan pula dalam sampe yang terambil.

 

 

B.     Sejarah Peluang

Teori Peluang adalah sebuah ilmu matematika yang dipopulerkan oleh Blaise Pascal dan dikembangkan oleh Pierre de Fermat pada abad ke 17. Banyak sekali bidang kehidupan sehari-hari yang tidak bisa lepas dari teori peluang.

Cerita lahirnya teori peluang dimulai ketika di tahun 1654 seorang penggemar matematika bernama Chevalier de Mere bertemu dengan Blaise Pascal dalam sebuah perjalanan. De Mere menanyakan banyak persoalan matematika kepada Pascal hingga sebuah pertanyaan yang akhirnya dibutuhkan waktu sekitar dua tahun untuk Pascal menjawabnya. Pertanyaannya yang diajukan Chevalier de Mere adalah:

Dua orang dalam permainan lempar koin memperebutkan 100 Franc dimana pemenangnya adalah orang yang berhasil memenangkan 7 kali permainan. Jika karena suatu hal, permainan berhenti ketika pemain pertama telah menang 5 kali, dan pemain kedua telah menang sebanyak 4 kali, bagaimana cara paling adil dalam membagi hadiahnya?

Pertanyaan de Mere sendiri sebenarnya adalah pertanyaan yang sudah sering dicoba untuk dijawab oleh banyak ahli matematika seperti oleh Luca Pacioli pada tahun 1694 dan Nicolo Tartaglia pada abad ke 16. Namun jawaban kedua orang ahli matematika tersebut dianggap belum memuaskan. Untuk menjawab persoalan tersebut, Pascal meminta salah satu rekannya, Pierre de Fermat, untuk ikut membantu menyelesaikan masalah tersebut.Fermat menjawab sebagai berikut :

Salam kasih untukmu, Blaise,Sehubungan dengan masalah bagaimana membagi uang hadiah, aku kira aku telah menemukan solusi yang adil bagi keduanya. Mari kita melihat kondisi saat permainan terpaksa berhenti, aku (Fermat) hanya membutuhkan dua poin lagi untuk memenangkan pertandingan, sedangkan dirimu sendiri (Pascal) membutuhkan tiga poin lagi. Aku rasa kita dapat menetapkan bahwa permainan akan berakhir dalam 4 putaran (lemparan koin) lagi. Dalam 4 lemparan koin tersebut, jika kau belum mendapatkan 3 poin untuk membawamu kepada kemenangan, berarti aku telah mendapatkan 2 poin yang aku butuhkan untuk membawaku kepada kemenangan. Dan dengan kata lain, dalam 4 lemparan koin tersebut jika aku belum mendapatkan 2 poin untuk menang, berarti kau telah mendapatkan 3 poin yang dibutuhkan.

Berikut ini aku tuliskan kemungkinan hasil yang akan keluar dalam sisa empat lemparan koin, aku tulis M untuk Muka dan B untuk Belakang. Tanda bintang menyatakan kalau aku yang memenangkan permainan.

 

MMBM*	MMMB*	MMBM*	MMBB*
MBMM*	MBMB*	MBBM*	MBBB
BMMM*	BMMB*	BMBM*	BMBB
BBMM*	BBMB	BBBM	BBBB

 

Aku pikir kau pun setuju bahwa itu semua adalah hasil yang mungkin akan keluar dalam 4 lemparan tersisa. Jadi aku pikir kita harus membagi uang 100 Franc tersebut dengan rasio 11:5 (Fermat:Pascal). Dan oleh karenanya, aku berhak mendapatkan (11/16) x 100 Franc  = 68,75 Franc, dan kau berhak mendapatkan (5/16) x 100 Franc = 31,25 Franc.

Semoga semua baik-baik saja di Paris,

Teman dan rekanmu,

Pierre

Surat jawaban dari Fermat sangat memuaskan namun Blaise Pascal merasa cara manual Fermat dalam menghitung semua kemungkinan hasil lemparan koin sebanyak 4 kali sangat membosankan dan akan memakan banyak waktu. Oleh karenanya Pascal mencari solusi dan menemukan cara sederhana dalam menghitung besar kemungkinan.

Dear Pierre,

Terinspirasi dengan surat yang telah kau kirimkan, aku mempunyai pemikiran lain terhadap masalah ini. Aku menyadari bahwa ternyata, secara kebetulan, permasalahan yang kita hadapi menggunakan cukup banyak kemungkinan hasil. Metodemu untuk menuliskan semua kemungkinan hasil yang akan keluar akan menjadi sangat merepotkan. Oleh karena itu, aku mencoba untuk menyederhanakan permasalahan ini dan aku percaya aku telah menemukan solusi yang memuaskan.

Mari kita lihat lagi masalah yang kita punya. Aku akan menyederhanakannya, dan menghitung dari sisimu (Fermat). Hasil yang keluar nantinya dengan 2 atau lebih Muka (M) yang akan membawamu kepada kemenangan. Jumlah kemungkinan hasil yang keluar yang akan membawamu kepada kemenangan adalah sama dengan sejumlah cara untuk memilih 2 objek dari 4 ditambah sejumlah cara untuk memilih 3 dari 4 ditambah sejumlah cara untuk memilih 4 dari 4. Untuk mempersingkat kata, mari kita tulis sejumlah cara untuk memilih objek r dari n dengan nCr. Maka, kalimat di atas akan dapat ditulis dengan 4C2 + 4C3 + 4C4.

Perhitungan ini juga akan menyita waktu dan membosankan, maka dari itu aku telah membuat suatu segitiga, yang aku namakan Segitiga Pascal untuk membantu dalam melakukan perhitungan ini.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Katakanlah ada 2 pemain yang sedang bermain, di mana Pemain A membutuhkan n poin untuk menang sedangkan Pemain B membutuhkan m poin untuk menang. Untuk menghitung berapa uang harus dibagi, maka kita akan melihat ke dalam Segitiga Pascal pada baris ke (n+m). Untuk Pemain A (yang membutuhkan n poin untuk menang), jumlahkan isi dari Segitiga Pascal pada baris ke (n+m) tersebut sampai pada entri ke-m. Sedangkan untuk Pemain B (yang membutuhkan m poin untuk menang), jumlahkan sisa dari Segitiga Pascal pada baris ke (n+m) tersebut. Maka, pada cerita kita, akan menjadi seperti berikut. Aku (Pascal) membutuhkan 3 poin lagi untuk menang (n = 3), sedangkan kau (Fermat) membutuhkan 2 poin lagi (m = 2). Oleh karena itu, kita harus melihat Segitiga Pascal pada baris ke (n+3) atau baris ke-5, yang berisi angka 1 4 6 4 1. Untuk menghitung berapa uang yang aku dapat, maka harus dilihat Segitiga Pascal pada baris ke-5 dan menjumlahkan sampai entri ke-2 (m = 2), yakni 1 + 4 = 5. Sedangkan untuk menghitung berapa uang yang kau dapat, lihat Segitiga Pascal pada baris ke-5 dan jumlahkan sisanya, yakni 6 + 4 + 1 = 11. Maka, hasilnya akan menjadi sebagai berikut:

Uang yang didapatkan pascal adalah 31,25 France yang didapatkan dengan rumus :

Aku berdoa atas kesembuhan temanmu dan berharap semuanya baik bagimu.

Temanmu,

Blaise

 

Jika kamu tidak mengerti penjelasan Fermet dan Pascal di atas, maka singkatnya seperti ini :

Jika Aku butuh 2 kali kemenangan lagi untuk membawa hadiahdan Kamu hanya butuh 1 kali lagi saja kemenangan untuk membawa hadiah

Maka kemungkinan peluang menang menurut cara manual Fermet adalah :

 

Dari hasil manual Fermet diketahui kesempatan aku (A) untuk menang adalah 2 dari 8 atau ¼

Dan kesempatan kamu (K) untuk menang adalah 6 dari 8 atau ¾

Jika menggunakan cara menurut Segitiga Pascal :

Aku butuh 2 kemenangan, dan kamu butuh 1 kemenangan, maka  (2+1) = 3 baris ke 3 dalam segitiga pascal adalah 1-2-1 (lihat segitiga pascal)

Karena lawanku butuh 1 kemenangan maka rumus kemungkinanku menang adalah :

(1 angka pertama dalam baris ke 3 segitiga pascal)  / (jumlah angka dalam baris ke 3) = …

Karena lawanmu butuh 2 kemenangan maka rumus kemungkinanmu menang adalah :

(jumlah 2 angka pertama dalam baris ke 3 segitiga pascal  / (jumlah angka dalam baris ke 3)

Teori peluang dan Segitiga Pascal ini  akhirnya dikenal di seluruh dunia dan menjadi metode hitung yang mampu memegang peran penting dalam perkembangan berbagai cabang ilmu seperti fisika, sosial, ekonomi, psikologi, statistika, dan berbagai cabang ilmu lainnya. Demikianlah sejarah teori peluang menjadi sebuah bidang ilmu terapan paling populer di era modern ini.

 

C.     Sejarah Permutasi

Dalam matematika permutasi merupakan suatu susunan angka  dan aturan. Dikatakan permutasi ketika urutan variabel penting dan dikatakan Kombinasi ketika urutan variabel tidak penting. Misalnya, sandwich selai kacang dan jeli terdiri dari selai kacang dan jelly atau jelly dan selai kacang. Urutannya tidak masalah, masih roti selai kacang dan jeli. Namun, jika nomor kartu debit 2485, tiba-tiba saja pesanan itu penting. Karena 5842 atau 4285 tidak akan bekerja. Itulah perbedaan antara permutasi dan kombinasi.

Jumlah permutasi dari n objek yang berbeda bersifat faktual , biasanya ditulis sebagai n ! , yang berarti produk dari semua bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan n. Dimana dalam sejarah permutasi menuliskan 3 nama tokoh yang menemukan dan mengembangkan permutasi yang kita kenal sekarang , diantarannya :

1.      Bhaskara II (114 – 1185)

 

 

 

 

Sedininya sekitar 1150  didalam Lilavati  memuat bagian yang diterjemahkan ke dalam produk perkalian deret aritmetika yang dimulai dan meningkat secara kesatuan dan berlanjut ke jumlah tempat, akan menjadi variasi jumlah dengan angka yang spesifik.

Matematikawan asal india ini menemukan Aturan untuk menentukan jumlah permutasi dari n objek diketahui dalam budaya India.

2.      Fabian Stedman (1640 – 1713)

 

 

 

 

 

 

 

 

Pada tahun 1677 Fabian Stedman menggambarkan fakta saat menjelaskan jumlah permutasi lonceng dalam nada dering berubah . Berawal dari dua lonceng: "pertama, dua harus diaku bervariasi dalam dua cara" yang dia ilustrasikan dengan menunjukkan 1 2 dan 2 1. Dia kemudian menjelaskan bahwa dengan tiga lonceng ada "tiga kali dua angka yang akan diproduksi dari tiga "yang lagi diilustrasikan. Penjelasannya melibatkan "membuang 3, dan 1,2 akan tetap tinggal, buang 2, dan 1,3 akan tetap, buang 1, dan 2,3 akan tetap". Dia kemudian beralih ke empat lonceng dan mengulangi argumen casting yang menunjukkan bahwa akan ada empat rangkaian tiga yang berbeda. Efektif ini adalah proses rekursif. Dia melanjutkan dengan lima lonceng menggunakan metode "casting away" dan men-tabulasikan 120 kombinasi yang dihasilkan.

Pada titik ini dia menyerah dan berkomentar:  Sekarang sifat dari metode ini adalah sedemikian rupa, bahwa perubahan pada satu nomor memahami perubahan pada semua angka yang lebih rendah, ... sedemikian rupa sehingga kompleat Peal perubahan pada satu nomor tampaknya dibentuk oleh penyatuan kompleat Peals pada semua nomor yang lebih rendah. ke satu kesatuan;

Selanjutnya ia memperluas pertimbangan permutasi dengan mempertimbangkan jumlah permutasi dari huruf alfabet dan kuda dari stabil 20.

3.      Joseph Louis Lagrange (1786 – 1813)

 

 

 

 

 

 

 

Kasus pertama di mana pertanyaan matematika yang tampaknya tidak terkait dipelajari dengan bantuan permutasi terjadi sekitar tahun 1770, ketika Joseph Louis Lagrange , dalam studi persamaan polinomial, mengamati bahwa sifat permutasi dari akar persamaan terkait dengan kemungkinan untuk selesaikan itu Garis pekerjaan ini akhirnya dihasilkan, melalui karya Évariste Galois , dalam teori Galois , yang memberikan deskripsi lengkap tentang apa yang mungkin dan tidak mungkin berkenaan dengan pemecahan persamaan polinomial (yang tidak diketahui) oleh kaum radikal. Dalam matematika modern ada banyak situasi serupa di mana pemahaman masalah memerlukan belajar permutasi tertentu yang terkait dengannya.

 

D.    Teori Himpunan

Definisi 1

Himpunan adalah kumpulan abjek-objek yang didefinisikan dengan jelas.

Setiap anggota yang termasuk ke dalam sebuah himpunan dinamakan anggota atau elemen dari himpunan tersebut. Sebuah himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil, capital, seperti : A, B, C dan sebagainya, sedangkan anggota – anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil seperti: a, b, c dan sebagainya.

Contoh:

a.       Himpunan 4 bilangan asli pertama, dituliskan

b.      Himpunan Bilangan Real yang terletak antara 1 dan 4, ditulis :

 

Definisi 2

Jika masing – masing anggota himpunan  adalah juga anggota himpunan  maka himpunan dinamakan himpunan bagian dari himpunan dan ditulis . Jika  juga .  maka dua himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang sama dan ditulis .

Pada himpunan berlaku operasi – operasi sebagai berikut:

a.       Gabungan dua himpunan A dan B, didefinisikan sebagai:

b.      Irisan dua himpunan A dan B, didefinisikan sebagai : :

c.       Komplemen dari suatu himpunan A, didefinisikan sebagai :

d.      Produk kartesian dari himpunan A dan B didefinisikan sebagai :

E.     Peluang

Peluang dan statistika sangat erat sekali kaitannya. Peluang merupakan alat yang memungkinkan ahli statistika menggunakan informasi yang ada pada sampel untuk membuat keputusan atau uraian tentang populasi dari mana sampel itu berasal.

Peluang menggambarkan tingkat keyakinan seseorang terhadap sesuatu yang akan terjadi. Namun keyakinan yang dimaksud didalam peluang, bukanlah keyakinan berupa penilaian (judgement), misalnya keyakinan tentang “benar / salah” nyaucapan seseorang, tetapi lebih kepada keyakinan tentang kemungkinan terjadinya suatu hasil dari suatu percobaan yang bersifat konseptual. Misalnya, kemungkinan terjadinya kecelakaan dari sejumlah perjalanan; kemungkinan munculnya salah satu muka dalam lemparan (tossing) uang logam atau dadu.

Secara historis ide peluang berawal dari kalangan ‘penjudi’ (‘gambler’) yaitu ketika Chevalier de Mere mengajukan pertanyaan kepada Pascal. Studi secara matematis dipelopori oleh Laplace (1812), Pearson (1857-1936), Mishes (1931),R.A. Fisher (1890-1962) dan Kolmogorov (1933).

Dalam setiap studi ilmiah mengenai fenomena fisik, kitamungkin ingin menggunakan model matematik untuk menggambarkan atau memprediksi nilai observasi beberapa karakter yang diinginkan. Sebagai contoh, dalam ruang hampa udara, kecepatan benda yang jatuh setelah beberapa saat, t. Rumus  dimana  percepatan gravitasi bumi memberikan gambaran model matematik yang bermanfaat untuk kecepatan sebuah benda jatuh dalam ruang hampa udara. Ini merupakan contoh suatu model deterministik (deterministic model) .Percobaan berulang dalam kondisi yang ideal akan tetap menghasilkan hal yang sama, yang sudah tentu dapat diprediksi dengan menggunakan model yang sudah ada. Namun, apabila kondisi ideal tak mungkin diperoleh, maka hasil tersebut tak dapat kita peroleh. Mungkin dapat diakibatkan oleh variabel yang tak diketahui atau tak dapat dikendalikan, seperti misalnya suhu dan kelembaban udara, yang dapat mempengaruhi hasil studi. Demikian juga dapat dikarenakan karena kesalahan pengukuran atau hal lain yang dapat mempengaruhi hasil studi ilmiah tersebut. Lebih jauh lagi, kita tidak memeliki pengetahuan untuk menurunkanmodel yang lebih rumit yang sudah memperhitungkan semua penyebab keragaman.

Terdapat tipe fenomena lain dimana perbedaan hasilmungkin secara alami muncul karena suatu kebetulan, dan dengan demikian model deterministik tidak akan cocok lagi. Misalnya, dalam pengamatan jumlah partikel yang dipancarkan oleh sumber radioaktif, waktu hingga suatu komponen elektronik gagal berfungsi, atau memenangkan suatu permainan. Motivasi mempelajari peluang ini adalah sebagai dasar dalam mempelajari model probabilistic (probabilitic model) atau model stokastik (stochastic model).

Terminologi percobaan (experiment) menunjuk kepada proses untuk mendapatkan hasil observasi beberapa fenomena,dan performans suatu percobaan disebut sebagai suatu Tindakan (trial) dari suatu percobaan. Sedangkan hasil observasi, pada suatu tindakan percobaan, disebut dengan keluaran (outcome).

Pada paket ini, difokuskan pada istilah yang akan banyak digunakan dalam materi-materi berikutnya. Istilah dalam statistika tentunya sangat berbeda dengan istilah yang biasa digunakan oleh mahasiswa dalam kehidupan sehari-hari, sehingga perlu disampaikan secara detail dan mendalam. Paket 1 ini, sangat penting karena memang sangat berkaitan dengan paket - paket berikutnya. Jika mahasiswa tidak paham dengan istilah - istilah yang akan digunakan pada paket - paket berikutnya, maka bisa dipastikan mahasiswa akan tidak paham terus.

 

1.      Ruang sampel dan peristiwa

Untuk dapat menentukan ruang sampel terlebih dahulu kita harus melakukansuatu eksperimen, yang secara sederhanan dapat diartikan sebagai suatu tindakan yang didefinisikan dengan jelas dan dapat diulang dengan kondisi yang sama. Pada saat suatu hasilyang mungkin dari suatu eksperimen tidak dapat ditentukan dengan pasti, tetapi hanyaberdasarkan kemungkinan saja disebut dengan eksperimen acak. Eksperimen seperti ini yangmenjadi bahan pembicaraan dalam matakuliah ini.

Ruang sampel atau sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin darisebuah eksperimen, disimbolkan “S”. Ruang sampel dapat dibedakan menjadi dua, yaitu ruang sampel diskrit dan ruang sampel kontinu. Ruang sampel diskrit adalah ruang sampelyang memiliki banyak anggota berhingga atau tidak berhingga tetapi dapat dihitung, sedangkan ruang sampel kontinu adalah ruang sampel yang anggotanya merupakan interval pada garis bilangan real. Himpunan bagian dari ruang sampel dinamakan kejadian/event. Secara khusus, himpunan yang hanya terdiri dari satu kejadian dinamakan titik sampel.

Suatu percobaan acak atau percobaan statistik adalah suatu percobaan dimana (a) semua jenis keluaran percobaan diketahuiterlebih dahulu (b) hasil dari percobaan tidak diketahui , dan (c) percobaan dapat diulang pada kondisi yang sama. Dalam teori peluang, yang kita pelajari adalah ketidakmenentuan percobaan acak atau percobaan statistik ini. Percobaan semacam ini biasanya diasosiasikan dengan suatu gugus Ω, yaitu suatugugus semua kemungkinan keluaran suatu percobaan. Lebih jauh lagi kita hubungkan σ, suatu σ-field S anak gugus dari Ω. Kitaingat bahwa σ -field merupakan kelas anak gugus yang tak kosong dari Ω yang tertutup pada operasi gabungan dan komplementerhingga dan mencakup gugus Ω. Elemen-elemen dari Ω disebutdengan titik contoh.

Dalam dunia statistika, pekerjaan seperti melempar mata uanglogam, melempar dadu, mengambil kartu dari seperangkat kartu bridge,dan sebagainya akan sering kita jumpai. Pekerjaan tersebut dalamstatistika disebut percobaan.Dalam statistika digunakan istilah percobaan untuk menyatakantiap proses yang menghasilkan data mentah.

Berikut ini beberapa contoh percobaan dalam statistika:

1.      Pada percobaan melempar mata uang logam, hasil yang munculadalah sisi gambar (G) atau sisi angka (A).

2.      Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata enam, hasil yangmuncul adalah sisi mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6.

3.      Pada percobaan memilih hari dalam satu minggu, hasil yang munculadalah hari Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, atau Minggu.

Dalam Montgomery (2004 ; 17) himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel Dalam literatur yang lain disebutkan pengertian ruang sampel atauyang biasa disebut ruang contoh merupakan himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan atau kejadian. Ruang sampel suatupercobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel. Ronald E. Walpole dalam bukunya Pengantar Statistika edisi ketigamenyebutkan setiap kemungkinan hasil dalam suatu ruang sampel disebutunsur atau anggota ruang sampel atau biasa disebut titik sampel.

Penulisan dari ruang sampel dapat dilakukan dengan cara sebagaiberikut:

1.       Jika banyaknya titik sampel itu berhingga (bisa dihitung), maka kitabisa mendaftarnya dengan menggunakan koma untuk memisahkansetiap unsur dan menutupnya dengan dua kurung kurawal sehinggaruang sampel bagi percobaan pelemparan sekeping uang logam bisadituliskan sebagai S = { A, G} dengan A menyatakan hasil angka,sedangkan G menyatakan gambar.

2.       Jika banyaknya titik sampel itu tak terhingga (tak dapat dihitung) maka bisa dinyatakan melalui sebuah pernyataan atau yang dikenal sebagai notasi pembangun himpunan.Contoh : Bila kemungkinan hasil percobaan berupa himpunan kota-kota didunia yang di huni oleh lebih dari satu juta penduduk, maka ruang sampelnya bisa dituliskan sebagai berikut : S = {x/x adalah kota berpenduduk lebih dari satu juta jiwa} yang dibaca S adalah himpunan semua x dan x adalah kota berpenduduk lebih dari satu juta jiwa.Ruang Sampel suatu Percobaan

Perhatikan percobaan pelemparan sebuah dadu mempunyai 6 sisi. Jika bila kita mengacu pada bilangan yang muncul maka ruang sampelnya adalah 𝑆𝑆1 = {1,2,3,4,5,6}....... contoh 1

tetapi bila kita melihat pada hasil bilangan yang muncul berupa genap atau ganjil, maka ruang sampelnya menjadi𝑆

𝑆2 = {genap,ganjil}........ contoh 2

Contoh 1 memperlihatkan kenyataan bahwa lebih dari satu ruangsampel yang dapat digunakan untuk menjelaskan hasil dari suatu

percobaan. Dalam hal ini, 𝑆𝑆1 mengandung informasi lebih banyakdaripada 𝑆𝑆2. Bila kita mengetahui unsur atau anggota 𝑆𝑆1 mana yang muncul, maka kita dapat mengatakan dengan pasti anggota 𝑆𝑆2 yangmuncul tetapi pengetahuan tentang anggota 𝑆𝑆2 yang muncul tidak cukup membantu untuk mengetahui anggota 𝑆𝑆1 mana yang muncul. Jadi secara umum lebih baik bila yang kita ambil sebagai ruang sampel adalah himpunan yang mengandung paling banyak informasi mengenai hasil - hasil percobaan tersebut. Contoh yang lain dalam menentukan titik sampel dengan menggunakan diagram pohon yaitu suatu percobaan pelemparan sekeping uang logam sebanyak tiga kali maka akan ada delapan titik sampel yang dihimpun dalam ruang sampel sebagai berikut :

 

F.      Teknik Membilang

Dasar-dasar matematika yang sangat penting adalah mengenai teknik membilang. Teknik membilang yang sangat terkenal misalnya permutasi maupun kombinasi. Pada bagian ini akan dibahas secara singkat perihal beragam dasar-dasar Teknik membilang. Jika suatu proses gabungan merupakan gabungan dai k ( 3 ) proses dengan masing-masing dapat dilakukan menurut nk cara maka proses gabungan tersebut dapat dilakukan menurut n3, n4,….,nk cara

Contoh:

Suatu menu makan siang terdiri dari sayur, lauk, buah, dan minuman masing-masing satu macam. Jika tedapat 4 macam sayur, 3 macam lauk, 5 macam buah, dan 3 macam minuman maka banyak menu makan siang yang dapat dipilih ada 4 x 3 x 5 x 3 = 180

A.  Macam-Macam Teknik Membilang

1.      Aturan perkalian

Berikut ini diberikan sebuah dalil tentang penentuan banyak susunan yang paling sederhana dalam suatu permasalahan yang berkaitan dengan peluang.

·         Dalil 2.1: ATURAN PERKALIAN SECARA KHUSUS.

Jika suatu proses terdiri atass dua tahap. Dengan pertama dilakukan dalam  cara, maka proses itu keseluruhannya dapat dilakukan dalam  cara.

Sebuah proses mungkin bisa terdiri atas lebih dari dua tahap, dengan masing-masing tahap dapat terjadi  dalam  banyak  cara  yang berhingga.  Oleh  karena  itu,  aturan  perkalian  secara  umum dibahas dalam Dalil 2.2.

·         Dalil 2.2: ATURAN PERKALIAN SECARA UMUM

Jika suatu proses terdiri atas k tahap, tahap pertama dapat dilakukan dalam n1  cara, dengan masing-masing cara ini tahap kedua dapat dilakukan dalam n2  cara, dengan masing-masing tahap ini tahap ketiga dapat dilakukan dalam n3  cara, dan seterusnya sampai tahap ke-k dapat dilakukan dalam nk  cara; maka proses itu keseluruhannya dapat dilakukan dalam (n1 x n2 x n3 x ... x nk) cara.

2.      Kombinasi

Kombinasi adalah menggambungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memeperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan, atau kumpulan sebagian atau seluruh objek tanpa memperhatikan urutannya. Rumus kombinasi aalah sebagai berikut.

 adalah sama dengan  dan .

Contoh: seorang anakhanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?

Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu:A-B, A-C dan B-C.

Kombinasi ada 2 yaitu:

a.       Kombinasi pengulangan

Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Dimana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donat menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yang disediakan adalah  kombinasi.

b.      Kombinasi tanpa pengulangan

Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada  kombinasi.

Kombinasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda

DEFINISI : Suatu himpunan yang terdiri dari r obyek dan yang mungkin dipilih  dari suatu himpunan yang terdiri dari n obyek yang berbeda tanpa memperhatikan urutan pemilihannya dinamakan kombinasi dari n obyek yang berbeda dan yang siambil sekaligus sebanyak r obyek dengan ketentuan . Kombinasi demikian dinyatakan dengan notasi .

TEOREMA : Kombinasi sebanyak r dan n obyek yang berbeda. Jumlah kombinasi dari n obyek yang berbeda dan yang dipilih sekaligus sebanyak r ialah

Koefisien binomial dan multinomial

Nilai  atau  Sebetulnya koefisien binomial. Secara aljabar, . Koefisien tiap suku dalam penguraian binomial demikian dapat diperoleh dengan cara menghitung tiap kombinasinya.

Koefisien

Koefisien

Koefisien

Alhasil, secara keseluruhan  dapat diuraikan dengan koefisiennya sebagai kombinasi  atau .

Perumusan kombinasi kadang-kadang membutuhkan perhitungan yang panjang, karena perhitungannya  menggunakan  bilangan  besar.  Oleh  karena  itu,  kita  memerlukan  cara  yang praktis dalam penghitungan kombinasi ini. Berikut ini  kita  akan  membahas sebuah sifat yang membahas cara tsb.

·         Sifat 2.1: RUMUSKOMBINASI YANG PRAKTIS

 

Permasalahan lainnya yang berkaitan dengan kombinasi adalah koefisien binomial. Berdasarkan hasil nilai koefisien di atas, secara umum nilai koefisien dari  dalam  adalah , yang menyatakan banyak cara untuk memilih r buah b. Nilai koefisien  dikenal sebagai koefisien binomial. Secara umum, hasil perkalian dari  dapat dilihat dalam Dalil 2.10.

·         Dalil 2.10: DALIL BINOMIAL

dengan n adalah bilangan bulat positif.

1.    Permutasi

Dalam pembahasan permutasi dan kombinasi, kita awali dengan suatu ekspresi yang sering dipakai dalam matematika, yaitu faktorial.

a.       Notasi Faktorial

Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n, yaitu

1×2×3×4 · … × (n-2) × (n-1) ×n

sering digunakan dalam matematika. Dan selanjutnya buat definisi sebagai berikut.

Untuk sembarang bilangan bulat n factorial yang ditulis dengan , dan didefinisikan 0!=1

Dari definisi n!, dapat dicari persamaan berikut ini.

 

Contoh

4! = 4×3×2×1 = 24.

6! = 6.5! = 6×5×4×3×2×1 = 720.

Notasi faktorial ini akan sering digunakan dalam pembahasan tentang permutasi dan kombinasi yang akan dibahas berikut ini.

b.      Permutasi Pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali maka jumlah permutasinya adalah: , di mana n adalah banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih.

Sebagai contoh, jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu ingin mencari tahu ada berapa cara untuk menyusunnya dalam suatu grup yang berisi tiga angka maka kamu akan menemukan bahwa ada  atau 64 cara untuk menyusunnya. Berapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB,dst.

·         Dalil 2.5: OBJEK YANG SAMA

Jika kita mempunyai n objek, dengan n1 adalah banyak objek pertama yang sama, n2 adalah banyak objek kedua yang sama, n3 adalah banyak objek ketiga yang sama, ...,nk   adalah  banyak  objek  ke-k  yang  sama;  maka  banyak  permutasi  yang  dapat dibentuk ada  susunan.

c.       Permutasi tanpa pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus dipilih dan ! adalah simbol faktorial.

Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi. Kandidat yang bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang mendapat suara ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris. Ada berapa banyak hasil pemungutan suara yang mungkin terjaddi? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada  permutasi.

Umpamakan jika n = r ( yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih sama dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi:

        ; karena 0! = 1! = 1

Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan rumus n! Maka ada 5! = 120 permutasi.

·         Dalil 2.3: SEMUA OBJEK DIAMBIL

Jika kita mempunyai n objek yang berbeda, maka banyak permutasi yang dapat dibentuk dari semua objek itu ada nPn = n! cara.

nPn = n! Dibaca sebagai “Permutasi n objek dari n objek sama dengan n faktorial”.

nPn bisa ditulis P(n,n).

·         Dalil 2.4: SEBAGIAN OBJEK DIAMBIL

Misalkan kita mempunyai n objek yang berbeda. Jika k objek diambil dari n objek, maka banyak permutasi yang mungkin ada nPk   Susunan.

nPk 

d.      Permutasi siklis

Misalkan kita mempunyai sejumlah objek yang berbeda. Permutasi yang dapat dibentuk dari sejumlah objek itu yang membentuk sebuah lingkaran dinamakan permutasi melingkar.  Oleh karena itu, dalam penentuan permutasi melingkar diperlukan lingkaran-lingkaran yang banyaknya bergantung pada permasalahannya.

Dalam permutasi melingkar yang perlu diperhatikan adalah penetapan lebih dahulusalah satu objeknya. Setelah ditentukan satu permutasinya, penentuan permutasi lainnya harus memperhatikan susunan objek – objek dari permutasi sebelumnya. Penghitungan banyak permutasi melingkar yang dapat dibentuk bergantung pada banyak objek yang digunakannya. Penghitungan banyak permutasi melingkar yang dapat dibentuk secara umum bisa dilihat dalam Dalil 2.6.

·         Dalil 2.6: PERMUTASI MELINGKAR SECARA UMUM

Jika kita mempunyai n objek yang berbeda, maka banyak permutasi melingkar yang dapat dibentuk ada (n – 1)! Susunan.

Permutasi siklis adalah peristiwa permutasi dengan bentuk melingkar. Rumusnya adalah

siklis = (n-1)!

Contoh: Permutasi siklis adalah banyaknya cara empat orang duduk dalam formasi malingkar, maka banyaknya kemungkinan adalah

 siklis = ( 4 – 1 )! = 3! = 6

Jadi ada 6 cara duduk melingkar jika terdapat 4 orang yang duduk.

e.       Permutasi dengan beberapa suku yang sama

Permutasi dengan beberapa suku yang sama adalah kejadian permutasi dimana terdapat beberapa jenis suku yang sama. Misalkan saja jenis suku yang sama adalah , dimana banyaknya  adalah a,  adalah b dan  adalah c suku, dari suatu semesta kejadian n, mkama permutasinya adalah.

 s1,s2,s3  = 

Contoh kasusnya adalah, menentukan banyak kata yang dapat disusun dari huruf-huruf penyusun kata MATEMATIKA. Perhatikan pada kata tersebut ada 10 huruf, jadi semesta n = 10.

Dan terdapat 3 jenis huruf yang sama, yaitu A ada 3, M ada 2 dan T ada 2. Maka banyak kata yang dapat dibentuk adalah

=151200

2.      Sampel yang berurutan

Misalnya sebuah kotak berisi n buah bola pingpong. Selanjutnya, kita mengambil sebuah bola pingpong secara acak dari kotak itu. Kemudian, kita mengambil sebua bola pingpong lagi secara  acak  dari  kotak  itu  sesudah  pengambilan  bola  pingpong  sebelumnya.  Demikian seterusnya, kita mengambil sebuah bola pingpong seperti itu sampai pengambilan bola pingpong ke-r. Pengambilan bola pingpong seperti itu dikatakan pengambilan sebuah sampel yang berurutan berukuran r.

Pengambila bola pingpong sesudah pengambilan bola pingpong sebelumnya dapat terjadi dalam dua kasus, yaitu:

a.       SAMPLING DENGAN PENGEMBALIAN

Dalam  hal ini,  bola  pingpong  yang sudah  terambil  disimpan  kembali  ke dalam kotak, sebelum bola pingpong berikutnya diambil. Akibatnya, banyak bola pingpong yang ada di dalam kotak tetap. Sehingga pengambilan setiap bola pingpong dari dalam kotak mempunyai n  cara.  Dengan  demikian,  kita  mempunyai  sampel  berurutan  yang berbeda  berukuran  r dengan pengembalian sebanyak:

 ; ada r kali buah.

b.      SAMPLING TANPA PENGEMBALIAN

Dalam hal ini, bola pingpong yang sudah terambil tidak disimpan kembali ke dalam kotak, sebelum bola pingpong berikutnya diambil. Akibatnya, banyak bola pingpong yang ada di dalam kotak berkurang sesuai dengan banyak pengambilan bola pingpongnya. Artinya pengambilan bola pingpong pertama ada n cara, pengambilan bola pingpong kedua ada (n–1)  cara,  pengambilan  bola  pingpong  ketiga  ada  (n  –  2)  cara,  dan  seterusnya  sampai pengambilan bola pingpong ke-k ada [n – (r – 1)] cara. Dengan demikian, kita mempunyai sampel berurutan yang berbeda berukuran r tanpa pengembalian sebanyak:

 

G.    Soal Permutasi dan Kombinasi

a.       Contoh 1:

Dua buah uang logam dilemparkan. Tentukan yang dimaksud dengan percobaan, ruang sampel, dan titik sampelnya ! Serta berikan contoh tentang kejadian !

Jawab :

Percobaan : pelemparan dua buah uang logam

      Ruang sampel :

S = {AA, AG, GA, GG}

Terdapat empat titik sampel, yaitu :  AA, AG, GA, GG

Kejadian :

     D = paling sedikit satu gambar muncul

     D = {AG, GA, GG}.

 MENCACAH TITIK SAMPEL

·         Kaidah Penggandaan

Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n₁ cara, bila untuk setiap cara tersebut operasi kedua tersebut dapat dilakukan dalam n₂ cara, bila untuk setiap pasangan dua cara yang pertama operasi ketiga dapat dilakukan dengan n₃ cara, dan seterusnya, maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n₁ n₂ … n_k cara.

b.      Contoh 2:

Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyaknya titik sampel dalam ruang sampelnya ?

Jawab :

Dadu pertama dapat menghasilkan n₁ = 6 cara. Untuk setiap cara tersebut dadu kedua dapat menghasilkan n₂ = 6 cara. Dengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat menghasilkan n₁ x n₂ = 6 x 6 = 36 cara.

c.       Contoh 3:

Berapa banyak bilangan genap, terdiri atas tiga angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 5, 6, dan 9, bila setiap angka tersebut hanya boleh digunakan sekali?

Jawab :

Karena bilangan genap yang terdiri atas tiga angka ditentukan oleh angka yang menduduki posisi satuan, maka terdapat 2 pilihan angka. Untuk setiap pilihan tersebut, tersedia 4 pilihan bagi posisi ratusan dan 3 pilihan bagi posisi puluhan. Dengan demikian, terdapat (2) (4) (3) = 24 bilangan genap yang terdiri dri tiga angka.

·         Permutasi

Adalah susunan yang dibentuk dari suatu kumpulan obyek yang diambil sebagian atau seluruhnya.

Ø  Banyaknya permutasi n obyek yang berbeda adalah  n(n - 1)(n - 2)…3 ´ 2 ´ 1 = n!

Ø  Banyaknya permutasi akibat pengambilan r obyek dari n obyek yang berbeda, untuk r £ n, adalah n(n-1)(n-2)…(n-(r-1)) = _nP_r = n! / (n-r)!

Ø  Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n - 1)!

Ø  Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n₁ diantaranya berjenis pertama, n₂ berjenis kedua, … , n_k berjenis ke-k adalah

          dengan n₁ + n₂ + … + n_k = n.

d.      Contoh 4:

1.      Berapa banyak susunan berbeda huruf-huruf A, B, C bisa dibentuk, bila masing-masing huruf hanya boleh digunakan sekali ?

2.      Bila diambil dua huruf dari tiga huruf tsb., maka berapa susunan huruf berbeda yang mungkin dibentuk ?

Jawab:

1.      (3) (2) (1) = 6 cara.

2.      (3) (2) = 6 cara.

e.       Contoh 5:

1.      Tersedia empat angka : 1, 2, 3, 4. Berapa bilangan yang dapat dibuat dari semua angka tersebut ?

2.      Bila diambil dua angka dari empat angka, maka berapakah susunan angka berbeda yang mungkin dibentuk ?

Jawab :

1.      (4) (3) (2) (1) = 4 ! = 24 bilangan.

2.      ₄P₂ = (4!) / ((4-2)!) = 12 susunan angka.

f.       Contoh 6:

Berapa macam permutasi yang berlainankah yang dapat disusun dari kata ‘matematika’ ?

Jawab :

 = 453600 macam

·         Kombinasi

Adalah banyaknya cara mengambil r obyek dari n obyek tanpa memperhatikan urutan.

Ø  Kombinasi adalah membuat sekatan dengan 2 sel. Satu sel berisi r benda yang dipilih dan sel yang lain berisi n-r benda yang tidak terpilih.

Ø  Banyaknya kombinasi r obyek dari n obyek yang berbeda adalah

g.      Contoh 7:

Dalam berapa cara 2 pertanyaan dalam soal ujian dapat dipilih, dari 3 pertanyaan yang disediakan ?

Jawab :

Banyaknya cara memilih 2 dari 3 soal ujian

·         PROBABILITAS SUATU KEJADIAN

Ø  Kemungkinan terjadinya suatu kejadian sebagai hasil percobaan statistika dinilai dengan menggunakan bil real yang disebut bobot atau probabilitas (peluang) dengan nilai dari 0 sampai 1.

Ø  Untuk tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot sedemikian hingga jumlah semua bobot sama dengan 1.

Ø  Bila titik sampel tertentu mempunyai kemungkinan besar untuk terjadi, maka bobot yang diberikan hendaknya dekat dengan 1. Sebaliknya, bobot yang lebih dekat dengan 0 diberikan pada titik sampel yang kecil kemungkinannya terjadi.

Ø  Probabilitas suatu kejadian A adalah :

Jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk  dalam A. Jadi : 0 £ P(A) £ 1

                              P(Æ) = 0

                              P(S)  = 1

h.      Contoh 8:       

Sekeping uang logam setimbang dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitasnya sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali ?

Jawab :

Ruang sampel percobaan ini adalah :

            S = {AA, AG, GA, GG}

Bila D menyatakan kejadian bahwa sekurang-kurangnya sisi gambar muncul sekali, maka

                        D = {GA, AG, GG}

                        P(D)  =  ¼ + ¼ + ¼ = ¾

·         Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yang berbeda, dan masing-masing mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi, dan bila tepat n di antara hasil percobaan itu menyusun kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah :

      P(A) = n/N

i.        Contoh 9:

Sekantung obat berisi 6 vitamin rasa jeruk, 4 rasa anggur, dan 3 rasa strawberi. Bila seseorang mengambil satu obat secara acak, carilah probabilitasnya mendapat

1.      Satu rasa jeruk

2.      Satu rasa anggur atau strawberi.

Jawab :

Misalkan J, A, dan S masing-masing menyatakan kejadian bahwa yang terpilih adalah rasa teruk, anggur dan strawberi. Jumlah tablet 13, semuanya terpilih dengan probabilitas yang sama.

1.      Karena 6 dari 13 tablet dengan rasa jeruk, maka probabilitas kejadian J, satu rasa j        eruk terpilih secara acak

P(J) = 6/13

2.      Karena 7 dari 13 tablet dengan rasa anggur atau  strawberi, maka

P(A È B) = 7/13

·         Definisi probabilitas berdasarkan frekuensi relatif :

Penentuan  probabilitas  didasarkan  atas pengetahuan  sebelumnya  atau  berdasarkan bukti percobaan.

Penentuan  probabilitas  didasarkan  atas frekuensi relatif dari terjadinya kejadian apabila banyaknya pengamatan sangat besar.

·         Definisi probabilitas berdasarkan subyektivitas :

Penentuan probabilitas didasarkan atas intuisi, keyakinan pribadi, & informasi tidak langsung lain.

ATURAN PENJUMLAHAN

·         Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka

            P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)

·         Bila A dan B adalah dua kejadian yang saling terpisah (mutually exclusive), maka

P(A È B) = P(A) + P(B)

·         Bila A, B, C adalah tiga kejadian sembarang, maka

P(A È B È C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A Ç B)  – P(A Ç C) – P(B Ç C)  + P(A Ç B Ç C)

·         Bila A₁, A₂,.…, A_n adalah kejadian-kejadian yang saling terpisah, maka P(A₁ È A₂ È … È A_n) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n)

·         Bila A dan  A’ adalah dua kejadian berkomplementer, maka 

P(A) + P(A’) = 1

j.        Contoh 10:

Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluangnya lulus statistika 4/9. Bila peluang lulus kedua mata kuliah ¼, berapakah peluangnya lulus paling sedikit satu mata kuliah ?

Jawab :

Bila M menyatakan kejadian ‘lulus Matematika’ dan S ‘lulus statistika’ maka

      P(M È S) = P(M) + P(S) – P(M Ç S)

                       = 2/3 + 4/9 – ¼ =31/36

k.      Contoh 11:

Berapakah probabilitas mendapat 7 atau 11 bila dua dadu dilemparkan ?

Jawab :

Misalkan A kejadian jumlah 7 muncul, dan B kejadian jumlah 11 muncul. Jumlah 7 dapat muncul dalam 6 dari 36 titik sampel dan jumlah 11 dalam 2 titik sampel. Karena semua titik berkemungkinan sama maka P(A) = 6/36 = 1/6. Dan P(b) = 2/36 = 1/18. Kejadian A dan B saling terpisah karena jumlah 7 dan 11 tidak mungkin terjadi pada lemparan yang sama, sehingga

P(A È B) = P(A) + P(B)

                             = 1/6 + 1/18 = 2/9

PROBABILITAS BERSYARAT DAN INDEPENDENSI

Probabilitas terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dinyatakan dengan P(B|A).  Lambang P(B|A) biasanya dibaca “peluang B terjadi bila diketahui A terjadi” atau lebih sederhana lagi “peluang B, bila A diketahui”.

·         Definisi 1 :

Peluang bersyarat B bila A diketahui, dinyatakan dengan P(B|A), ditentukan oleh :

l.        Contoh 12:

Probabilitas suatu penerbangan yang telah terjadual teratur berangkat tepat waktu  P(B) = 0,83; probabilitas sampai tepat waktu P(S) = 0,82; dan probabilitas berangkat dan sampai tepat waktu P(B Ç S) = 0,78.  Carilah probabilitas bahwa pesawat :

1.      sampai tepat waktu apabila diketahui berangkat tepat waktu,

2.      berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat waktu.

Jawab :

1.      Probabilitas pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu adalah :

                            

2.      Probabilitas pesawat berangkat tepat waktu apabila diketahui sampai tepat waktu adalah :

                

·         Definisi 2 :

Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika :

P(B|A) = P(B) dan P(A|B) = P(A).Jika tidak demikian, maka A dan B tak bebas.  

m.    Contoh 13:

Misalkan diberikan suatu percobaan yang berkaitan dengan pengambilan 2 kartu yang diambil berturutan dari sekotak kartu dengan pengembalian.  Kejadian ditentukan sebagai :

                  A = kartu pertama yang terambil as,

                  B = kartu kedua sebuah skop (spade).

Karena kartu pertama dikembalikan, ruang sampel untuk kedua pengambilan terdiri dari 52 kartu, berisi 4 as dan 13 skop.  Jadi

     dan

    

Jadi, P(B|A) = P(B).  Apabila hal ini benar, maka kejadian A dan B dikatakan bebas (independent).

·         Definisi 3 :

Bila dalam suatu percobaan A dan B dapat terjadi sekaligus, maka :

P(A Ç B) = P(A) P(B|A)

P(A Ç B) = P(B) P(A|B)

·         Definisi 4 :

Bila 2 kejadian A dan B bebas, maka :

P(A Ç B) = P(A) P(B)

Soal dan jawaban tentang Permutasi dan Kombinasi

Ø  PERMUTASI

1.      Ada berapa cara bila 4 orang remaja (w,x, y, z) menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?

Jawaban:

4P4 = 4!

= 4 x 3 × 2 × 1

= 24 cara

2.      Menjelang Pergantian kepengurusan BEM STMIK Tasikmalaya akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?

Jawaban:

6P2 = 6!/(6-2)!

= (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)

= 720/24

= 30 cara

3.      Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?

Jawaban:

P5 = (10-1)!

= 9.8.7.6.5.4.3.2.1

= 362880 cara

4.      Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “STMIK”?

Jawab :

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata

5.      Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75. Jika seorang lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia dapat diterima oleh perusahaan?

Jawaban:

Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A) Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 24. Maka: Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.

6.      Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?

Jawaban:

nPx = n!

3P3 = 3!

= 1 x 2 x 3

= 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX).

7.      Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?

Jawaban:

nPx = (n!)/(n-x)!

4P2 = (4!)/(4-2)!

= 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .

8.      Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.

Jawaban:

Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.

Maka banyaknya cara duduk ada :

7P3 = 7!/(7-3)!

= 7!/4!

= 7.6.5

= 210 cara

9.      Ada berapa cara 5 gelas warna yang mengitari meja kecil, dapat menempati kelima tempat dengan urutan yang berlainan?

Jawaban:

Banyaknya cara duduk ada (5 – 1) ! = 4 ! ® 4. 3 . 2 . 1 = 24 cara.

10.  Tentukan banyaknya permutasi siklus dari 3 unsur yaitu A, B, C

jawab:

Jika A sebagai urutan I : ABC

Jika B sebagai urutan I : BCA

Jika C sebagai urutan III : CAB

Jika banyak unsur n=4 –> A, B, C, D

jadi banyaknya permutasi siklis dari 4 unsur ( A B C D) adalah 4!/4 = 4.3.2.1/4 = 6

Ø  KOMBINASI

1.      Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3 orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?

Jawaban:

4C3 =4! / 3! (4-3)!

= (4.3.2.1) / 3.2.1.1

= 24 / 6

= 4 cara

2.      Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.

Jawaban:

nCx = (n!)/(x!(n-x)!) 

4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)

= 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH).

3.      Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.

Jawaban:

10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan

4.      Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.

Jawaban:

3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara, yaitu : L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2

5.      Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8 soal yg tersedia. Tentukan:

a.       banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin untuk dikerjakan

b.      banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin dikerjakan jika no.6 dan 7 wajib dikerjakan.

Jawaban:

a.       8 C5 = 8!/5!(8-5)! = (8×7×6×5!)/5!3! = 56 cara

b.      6C3 = 6!/3!(6-2)! = (6×5×4×3!)/3!3! = 20 cara

6.      Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....

Jawaban:

6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara

7.      Dalam sebuah kantoh terdapat 7 kelereng. Berapa banyak cara mengambil 4 kelereng dari kantong tersebut?

Jawaban:

7C4 = 7!/4!(7-4)! = (7×6×5×4!)/4!3! = 35 cara

8.      Siswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal 1-5 harus di kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah.

Jawaban:

5C4 = 5!/4!(5-4)! = (5×4!)/4!1! = 5 cara

9.      Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di inginkannya?

Jawaban:

Banyak cara memilih ayam = 6C3 = 6!/3!(6-3)! = 6!/3!3! = 20 cara

Banyak cara memilih kambing = 4C2 = 4!/2!(4-2)! = (4×3×2!)/2!2! = 6 cara

Jadi, peternak tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20×6 = 120 cara

10.  Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara menyeleksi karyawan!

Jawaban:

Pelamar putra = 9 dan pelamar putri 6 banyak cara menyeleksi:

9C5 x 6C3 = 9!/5!x(9-5)! x 6!/3!x(6-3)! = 2360

 

 

BAB III

PROSEDUR PELAKSANAAN

 

 

A.    Pengertian Permutasi

Permutasi adalah Sejumlah penyusunan unsur-unsur dalam suatu urutan tertentu yang urutannya harus diperhatikan. Dalam ilmu matematika permutasi diartikan sebagai sebuah konsep penyusunan sekumpulan objek/angka menjadi beberapa urutan berbeda tanpa mengalami pengulangan. Dalam permutasi urutan diperhatikan. Setiap objek yang dihasilkan harus berbeda antara satu dengan yang lain. Sebagai contoh, urutan huruf {ABC} berbeda dengan {CAB}begitu juga dengan {BAC} dan {ACB}.

Banyaknya permutasi r unsur dinyatakan  dengan menggunakan rumus :

 Untuk

Rumus Permutasi

Banyak permutasi n unsur apabila disusun k unsur k adalah dengan

 

Contoh 1

Disebuah kelas terdapat 4 orang siswa yang dicalonkan untuk mengisiposisinya bendahara dan sekretaris. Tentukan banyaknya cara yang bisa digunakan untuk mengisi posisi tersebut.

 

Jawab:

Soal di atas bisa dituliskan sebagai permutasi P(4,2), n (banyaknya guru) = 4 dan k (jumlah posisi) = 2.

Kita masukkan ke dalam rumus:

Jadi terdapat 12 cara untuk mengisi posisi tersebut.

 

Contoh 2

Berapakah banyaknya bilangan yang dibentuk dari 2 angka berbeda yang bisa kita susun dari urutan angka 4, 8, 2, 3, dan 5?

 

Jawab:

Pertanyaan di atas bisa disimpulkan sebagai permutasi yang terdiri dari 2 unsur yang dipilih dari 5 unsur, maka bisa dituliskan sebagai P(5,2). Lalu, kita masukkan ke dalam rumus :

Jadi terdapat 20 cara penyusunan yang dapat dibentuk dari 2 angka yang berbeda-beda. Maka ada 20 cara yang bisa dilakukan untuk menyusun bilangan tersebut menjadi 2 angka yang berbeda – beda

(48, 42, 43, 45, 84, 82, 83, 85, 24, 28, 23, 25, 34, 38, 32, 35, 54, 53, 52).

 

Contoh 3

Diketahui himpunan 𝐴 (𝑎, 𝑏, 𝑐). Tentukan permutasi, jika

a.       Diambil 2 unsur

b.      Diambil semua (3 unsur)

 

Jawab:

a.       Banyaknya permutasi 2 unsur dan 3 unsur

b.      Banyaknya permutasi 3 unsur dan 3 unsur

Contoh 4

Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.

 

Jawab:

Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong. Maka banyaknya cara duduk ada :

Contoh 5

Tentukanlah aturan permutasi dibawah ini:

Jawab:

Berdasarkan deskripsi pada contoh diatas tampak bahwa banyak 𝑃 = 2 unsur diambil dari 4 unsur yang tersedia secara umum dapat disimpulkan bahwa banyak permutasi 𝑟 yang diambil dari 𝑛 unsur yang tersedia.

Ditentukan dengan aturan:

Contoh 6

Berapa banyak cara menyusun 4 buku dari 6 buku ?

 

Jawab:

Permutasi 4 dari 6 =  

 

B.     Jenis – Jenis Permutasi

1.      Permutasi Unsur – Unsur yang Sama

 

Misalkan ada sebuah kata 5 huruf yaitu huruf pertama (R), huruf kedua (U),huruf ketiga (M), huruf keempat (U), huruf kelima (S), maka aka nadapermutasi yang berulang karena ada dua unsur (huruf) yang sama yangsebenarnya merupakan 1 permutasi. Jika kita masukkan ke rumus yangbiasa maka, permutasinya yaitu terdiri 5 dari 5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Tapi coba kita amati diantara 120 permutasi pasto ada yang berulang (double) karena ada 2 huruf yang sama. Berapa sebenarnya jumlah permutasi yang benar ?

Jumlah permutasi jika ada unsur – unsur yang sama bisa dicari dengan rumus.

Jadi dari 5 huruf “rumus” bisa dibuat susunan sebanyak

Misal huruf pembentuk “matematika” maka

huruf m, 3 huruf a, dan 2 huruf t.

 

Contoh 1

 

Terdapat 2 bola merah, 1 bola biru dan 3 bola putih yang sama jenis dan ukurannya. Ada beberapa carakah bola - bola itu dapat disusun berdampingan.

Penyelesaian:

Banyaknya susunan bola-bola itu adalah

2.      Permutasi dari Unsur - Unsur yang Berbeda

 

Misalkan dari tiga buah angka 1, 2, dan 3 akan disusun suatu bilangan yang terdiri atas tiga angka dengan bilangan - bilangan itu tidak mempunyai angka yang sama, susunannya yang dapat dibentuk adalah (123), (132),(213), (231), (312), (321).

Banyak cara untuk membuat susunan seperti itu 3 × 2 × 1 = 6 cara.Susunan yang diperoleh seperti diatas disebut permutasi 3 unsur yangdiambil dari 3 unsur yang tersedia. Berdasarkan deskripsi diatas, permutasi dapat didefinisikan sebagai berikut. Permutasi 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛yang tersedia (tiap unsur itu berbeda) adalah susunan dari 𝑟 unsur itu dalam suatu urutan (𝑟 ≤ 𝑛)

Banyak permutasi 𝑟 yang diambil dari 𝑛 unsur yang tersedia dilambangkan dengan notasi.

Rumus itu digunakan dari 𝑛 teerhadap 𝑟 unsur

Jika 𝑟 = 𝑛, maka banyak permutasi 𝑛 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang tersedia biasa yang singkat: Permutasi 𝑛 unsur dilambangkan dengan notasi.

3.      Permutasi Merupakan Pengembangan Dari Aturan Perkalian

 

Permutasi adalah cara menyusun suatu unsur secara urut dengan objek yang berbeda dari kelompok unsur. Permutasi sekumpulan n dengan yang berlainan diambil secara Bersama – sama

 

 

Suatu permutasi yang diambil dari n unsur yang berlainan adalahpenempatan r unsur itu dalam suatu urutan 𝑟 ≤ 𝑛 dan dinyatakan dalam notasi 𝑛P𝑟, P(n, r), 𝑃(𝑛𝑟), 𝑃𝑟𝑛, atau 𝑛P𝑟. Nilai 𝑃𝑟𝑛 ditentukan oleh formula berikut ini:

 

 

Jika diketahui n unsur, diantaranya adalah 𝑘 unsur yang sama (k ≤ n) maka banyaknya permutasi yang berlainan ditentukan oleh formula berikut ini:

 

 

Jika n unsur yang tersedia terdapat n1unsur yang sama n2 unsur yang sama,dan n3 unsur yang sama, maka banyaknya permutasi yang berlainan dari nunsur itu ditentukan oleh formula berikut ini:

dengan

 

4.      Permutasi Siklis

 

Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu. Permutasi siklis berkaitan dengan penyusunan sederetan objek yang melingkar. Sebagai gambaran adalah susunan duduk dari beberapa orang pada meja bundar. Permutasi ini juga dikenal sebagai permutasi melingkar.

Bila tersedia n unsur berbeda, maka banyak permutasi siklis dari n unsuritu ditentukan oleh formula:

 

 

Rumus itu digunakan untuk n unsur yang berbeda.

 

Contoh 1

Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?

 

Jawab:

Banyaknya cara duduk ada

 

Contoh 2

Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda?

 

Jawab:

Permutasinya adalah sebagai berikut:

 

Contoh 3

5 buah kelereng yang akan disusun melingkar. Berapa cara untukmenyusunnya?

 

Jawab:

 

Contoh 4

Pada suatu pertemuan keluarga terdapat 4 sepasang suami istri yang akan duduk pada meja makan keluarga. Berapa susunan yang akan di duduk melingkar pada pertemuan makan tersebut. Pertama tama kita mencari banyaknya cara, setelah mencari banyaknya cara kemudian kita mencari permutasinya.

 

Jawab:

5.      Permutasi berulang.

Bila tersedia 𝑛 unsur berbeda, maka banyak permutasi berulang 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang tersedia ditentukan oleh formula:

 

Contoh 1

Berapa banyak permutasi berulang dari 3 huruf 𝑎, 𝑏, 𝑐 yang disusun 2 − 2 ?

 

Penyelesaian:

Yaitu 𝑎𝑏, 𝑎𝑐, 𝑏𝑎, 𝑏𝑐, 𝑐𝑎, 𝑐𝑏, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑐𝑐

Jadi banyaknya permutasi pengulangan terdapat 9

 

Contoh 2

Berapa banyak permutasi dari 4 huruf A, B, C, dan D?

 

Jawab:

Sebuah contoh permutasi atau susunan 4 huruf dalam suatu urutan yang terdiri dari

huruf pertama (B), huruf kedua (D), huruf ketiga (A), huruf keempat (C)

Huruf pertama dalam susunan dapat dipilih dengan 4 cara huruf 𝐴 atau 𝐵atau 𝐶 atau 𝐷. Kemungkinan huruf tersebut dapat ditentukan dengan cara berikut.

Huruf dapat dipilih dengan 3 cara:

Misalnya:

Huruf pertama di pilih B

Maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah D atau A atau C.

Huruf ketiga dapat dipilih dengan 2 cara:

 

Misalnya:

kalau huruf pertama dipilih B

Huruf kedua dipilih D

maka huruf ketiga yang dapat dipilih adalah A atau C.

Huruf keempat dapat dipilih dengan satu cara:

 

Misalnya:

kalau huruf pertama dipilih B

Huruf kedua dipilih D

Huruf ketiga dipilih A,

maka huruf keempat tinggal 1 pilihan yaitu huruf C.

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan yang mungkin itu seluruhnya adalah

4 × 3 × 2 × 1 = 4! = 24

Berdasarkan deskripsi pada contoh diatas tampak banyak permutasi 4 unsur adalah

Banyaknya permutasi 𝑛 ditentukan dengan aturan:

C.     Permutasi yang memenuhi persamaan

Mencari permutasi dengan sistem yang memenuhi persamaan dapat ditentukanmenggunakan system persamaan. Maka dengan ini kita dapat menentukan 𝑛unsur dan juga permutasinya.

 

Contoh

Carilah nilai n yang memenuhi persamaan

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BAB IV

PENUTUP

 

 

A.     Kesimpulan

Penggunaan Statistik sudah ada sebelum abad ke- 18, pada saat itu negara Babilon, Mesir, dan Roma mengeluarkan catatan tentang nama, usia, jenis kelamin, pekerjaan, dan jumlah anggota keluarga. Kemudian pada tahun 1500, pemerintahan Inggris mengeluarkan catatan  mingguan tentang kematian dan tahun 1662 dikembangkan.

Teori Peluang adalah sebuah ilmu matematika yang dipopulerkan oleh Blaise Pascal dan dikembangkan oleh Pierre de Fermat pada abad ke 17. Banyak sekali bidang kehidupan sehari-hari yang tidak bisa lepas dari teori peluang.

Dalam matematika permutasi merupakan suatu susunan angka  dan aturan. Dikatakan permutasi ketika urutan variabel penting dan dikatakan Kombinasi ketika urutan variabel tidak penting. Misalnya, sandwich selai kacang dan jeli terdiri dari selai kacang dan jelly atau jelly dan selai kacang. Urutannya tidak masalah, masih roti selai kacang dan jeli. Namun, jika nomor kartu debit 2485, tiba-tiba saja pesanan itu penting. Karena 5842 atau 4285 tidak akan bekerja. Itulah perbedaan antara permutasi dan kombinasi.

 

B.     Saran

      Setelah mengetahui dan memahami tentang kewirausahaan, sebaiknya mahasiswa mempraktikkan ilmu yang sudah dipelajari untuk bekal masa depan.

Demikianlah buku yang dapat kami buat, sebagai manusia biasa kita menyadari dalam pembuatan makalah ini masih terdapat banyak kesalahan dan kekurangan. Untuk itu kritik dan saran yang bersifat konstruktif sangat kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini dan berikutnya. Semoga buku ini bermanfaat bagi kita semua. Amiin.

DAFTAR PUSTAKA

 

 

Anonim, 2019. Teori dan Aplikasi Statistika dan Probalitas.

Budiarto, Mega Tegus. 2013. Kalkulus Peubah Banyak. Sidoarjo;Zifatama Publishing

Dale Varberg., Edwin J. Purcell. 2001. Kalkulus Jilid I (edisi 7). Alih Bahasa I NyomanSusila. Batam: Interaksara.

Hudoyo Herman. 1996/1997. Matematika. : Depdikbud.

Sudijono, Anas. 2004. Pengantar Statistika Pendidikan. Raja Grafindo Persada : Jakarta.

Suparman. 1989. Statistika Matematik.CV Rajawali : Jakarta.

Supranto, J. 1988. Metode Riset dan Aplikasinya dalam Pemasaran. LFUEI : Jakarta.

Usman, H. 2008. Pengantar Statistika Edisi Kedua. PT Bumi Aksara : Jakarta.